联邦学习入门笔记（四）— 基于差分隐私的FL（ii）
本文详细介绍了DP(差分隐私)+FL(联邦学习)的实现方法，笔者经过一年多的学习，基本上摸清了这个领域的一些套路，这里做一个总结。
距离上次发表联邦学习相关的文章已经是一年多前了，笔者接触这个领域差不多也有快两年的时间了，那时候笔者还是本科生，现在已经是快毕业的师兄了（逃），这两年对FL和DP的理解变化很大，应该说是对这个领域已经较为了解了，两年前写基于差分隐私的FL（i）这篇文章时，笔者对很多概念和算法描述的可能并不是特别到位，这里请大家以这篇文章的描述为准。
基于DP的FL算法
为了简单起见，这里只讲解Client端的过程，以添加Laplace噪音为例，假设Client端收到来自Server的初始参数为$\mathbf{w}_s$，学习率为$\eta$，本地数据集为$\mathcal{D}$，梯度裁剪的Clip为$C$，损失函数为$l(\mathcal{D}, w_s)$，当前这一轮的隐私预算为$\epsilon$，那么基于DP的Client端算法为：
接受来自Server的初始参数$\mathbf{w}_s$
通过前向传播和反向传播计算出梯度 $\mathbf{g}$
其中计算的过程应该为，首先计算出$\mathcal{D}$中每条数据$\mathcal{D_i}$的梯度$\mathbf{g_i}$，进行梯度裁剪：
$\mathbf{g_i} = \frac{\mathbf{g_i}}{max(1, |\mathbf{g_i}| / C)}$
然后再求平均值，把这个过程写成公式就应该是：$\mathbf{g} = \frac{1}{|\mathcal{D}|} \sum \mathbf{g_i} = \frac{1}{|\mathcal{D}|} \sum arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_i}, \mathbf{w_s})$
进行梯度下降：$\mathbf{w_c} = \mathbf{w_s} - \eta \mathbf{g}$
对参数添加噪音：$\widetilde{\mathbf{w_c}} = \mathbf{w_c} + Lap(\Delta f / \epsilon)$
算法详解
上述算法可能有很多人有疑问，DP似乎不仅仅做了加噪的操作，还有很多额外的操作（比如Clip梯度），这里我将说明这些做法，以及为什么要这么做。
敏感度$\Delta f$的计算
根据敏感度$\Delta f$的定义，考虑两个临近数据集$\mathcal{D}, \mathcal{D’}$，两个数据集仅仅在数据$\mathcal{D_k}$处不同，其他数据都是相同的，由于我们是对参数添加噪音，那么此时我们需要计算参数在$\mathcal{D}, \mathcal{D’}$设定下的敏感度，假设$\mathcal{D}, \mathcal{D’}$设定下计算出来参数为$\mathbf{w_c}, \mathbf{w_c’}$，敏感度的计算如下：
$\Delta f = max_{\mathcal{D}, \mathcal{D’}} | \mathbf{w_c} - \mathbf{w_c’} | = max_{\mathcal{D}, \mathcal{D’}}| (\mathbf{w_s} - \eta \mathbf{g}) - (\mathbf{w_s} - \eta \mathbf{g’}) | = max_{\mathcal{D}, \mathcal{D’}} \eta | \mathbf{g} - \mathbf{g’} |$
(注意这里是一范数，因为是Laplace机制。)
然后我们只需要求解$| \mathbf{g} - \mathbf{g’} |$的值就可以了，根据算法的第二步，那么有：
$| \mathbf{g} - \mathbf{g’} | = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | (\sum \mathbf{g_i} - \sum\mathbf{g_i’}) | = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | \sum arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_i}, \mathbf{w_s}) - \sum arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_i’}, \mathbf{w_s}) |$
根据我们前面的假设，两个临近数据集$\mathcal{D}, \mathcal{D’}$，两个数据集仅仅在数据$\mathcal{D_k}$处不同，那么除了$\mathcal{D_k}$处所计算出来的梯度，其他的梯度应该都是相同的，所以可以消去，那么有：
$| \mathbf{g} - \mathbf{g’} | = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_k}, \mathbf{w_s}) - arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_k’}, \mathbf{w_s})| = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | (\mathbf{g_k} - \mathbf{g_k’}) |$
由于每一个梯度都进行过梯度裁剪，所谓梯度裁剪，其实就是把梯度的一范数限制在一定的范围内，此时：
$| \mathbf{g} - \mathbf{g’} |<= \frac{| \mathbf{g_k} | + | \mathbf{g_k’} | }{|\mathcal{D}|}<= \frac{2C}{|\mathcal{D}|}$
那么敏感度就为：
$\Delta f = \eta \frac{2C}{\mathcal{D}}$
为什么要Clip？
从上一部分可以看出，如果不Clip梯度的话，$\mathbf{g}$就是一个无法被bound住的值，
也就是他的一范数的范围无法被确定，这样的话就无法计算敏感度，无法计算敏感度就不能添加DP噪音，敏感度对于差分隐私来说是一个非常重要的参数。
关于Clip的值，有很多种不同的算法，也有很多不同的加法，这里只是展示了最常见的一种，不同的加法可能会造成Clip的值不同，如何降低敏感度是目前这个DP领域研究的一个重点。
当前这一轮的隐私预算VS全局的隐私预算
很多FL+DP的文章将当前这一轮的隐私预算与全局的隐私预算混淆，这里明确一下。
算法中提到的当前这一轮的隐私预算是指暴露Client当前信息所消耗的隐私预算，
根据差分隐私的Simple Composition，假设Client暴漏T次数据，那么这T次数据所消耗的隐私预算为$T \epsilon$
大多数FL+DP的论文中所提到的隐私预算都是指全局的隐私预算，也就是说暴露T次数据所消耗的隐私预算，按照这些论文的设定，Client端每一轮消耗的隐私预算应该等于$\epsilon / T$，也就是总的隐私预算除以暴露次数。
假设你全局隐私预算为$\epsilon$，你当然可以选择在前几次暴露使用较大的隐私预算，后几次使用较小的隐私预算，只要你能保证总的预算为$\epsilon$就可以，这一部分也有一些文章在进行研究，比如Adaptive DP[2]。
也有一些文章认为Simple Composition不够严谨，他没有考虑噪音的分布，还有更加严谨的 Composition以及专门针对深度学习记录隐私预算的算法，比如Moment Account，这些就不是本文研究的重点了，可以参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/264779199
关于本地迭代轮数
在传统的FL中，本地可以迭代多轮，而在基于FL+DP的设定下，本地迭代一轮是最好的选择。
在本地迭代多轮的情况下，无法保证每一个迭代轮数开始的时候$\mathbf{w_s}$是相同的，这时无法消去除了$\mathcal{D_k}$之外的其他数据计算出来的梯度，此时如果单纯对梯度进行Clip，那么得到的敏感度将是多轮迭代出来的$|\mathcal{D}|$倍，考虑到数据集的大小一般都很大，所以敏感度将会扩大几十倍甚至上百倍，所以迭代一轮是最好的选择。
写在最后
以上是笔者写的使用拉普拉斯机制添加差分隐私噪音的基本过程，当然这个领域还有其他机制，比如高斯机制等，其实过程感觉都比较类似，计算Sensitivity，添加噪音等等[1,3]，只不过可能加噪音的操作或者位置不同（比如有些是对梯度加噪），还有一些文章专注于FL+DP的收敛性的分析，这一块也是比较难懂的一块，笔者还在学习过程中。
笔者小硕一枚，虽然有过一些研究经验，但是本人对于DP的理解不敢说非常精通，很多时候也是摸着石头过河，笔者觉得目前网上关于DP的中文资料良莠不齐，鱼龙混杂，入门起来非常困难，笔者也是花了很长时间才搞清楚这个领域，可能有些地方写的不太准确，欢迎大家多提意见，互相交流！
笔者的开源FL+DP代码：https://github.com/wenzhu23333/Differential-Privacy-Based-Federated-Learning
参考文献
[1]Wei, Kang, et al. “Federated learning with differential privacy: Algorithms and performance analysis.” IEEE Transactions on Information Forensics and Security 15 (2020): 3454-3469.
[2]Wu, Nan, et al. “The value of collaboration in convex machine learning with differential privacy.” 2020 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP). IEEE, 2020.
[3]Abadi, Martin, et al. “Deep learning with differential privacy.” Proceedings of the 2016 ACM SIGSAC conference on computer and communications security. 2016.
[4]Lee, Jaewoo, and Daniel Kifer. “Concentrated differentially private gradient descent with adaptive per-iteration privacy budget.” Proceedings of the 24th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery & Data Mining. 2018.
[5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/264779199
[6]Truex, Stacey, et al. “LDP-Fed: Federated learning with local differential privacy.” Proceedings of the Third ACM International Workshop on Edge Systems, Analytics and Networking. 2020.